黑体辐射
Bose的推导
我们首先需要讨论一下黑体辐射体系的特征. 黑体辐射问题实际上讨论的是, 处于热平衡状态下的光子气体的分布. 有以下特征:
- 光子是交换对称的, 即遵循玻色分布.
- 在不考虑QED的情况下, 光子与光子间不存在相互作用, 即光子气体是理想气体.
- 由于光子可以被吸收和发射, 因此体系的粒子数\(N\) 是一个变量, 由热平衡条件决定, 即:要求
\[ \frac{\partial F}{\partial N} = 0 \]
同时由定义可知:
\[ \left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_{T,V} = \mu \]
即光子气体化学势为0.
那么我们可以立刻写出对于光子气, 所谓的Planck分布:
\[ \overline{n}_{k} = \frac{1}{e^{\hbar \omega/T}-1} \tag{1}\]
我们继续研究频率在\(\omega\sim \omega+{\rm d} \omega\) 间的量子态数:
在波矢 \(k\) 空间中, 半径为\(k\sim k+{\rm d}k\) 的球壳内的本征振动数为:
\[ \frac{V}{(2 \pi)^{3}}4 \pi k^{2}{\rm d}k \]
注意到每个振动模式都相应的有两个偏振态, 因此上式需要乘2, 并代入\(\omega=ck\), 我们得到\(\omega\sim \omega+{\rm d} \omega\) 间的量子态数:
\[ \frac{V \omega^{2} {\rm d} \omega}{\pi^{2}c^{3}} \tag{2}\]
将量子态数式\((2)\)乘以对应的占据数式\((1)\), 我们就得到了\(\omega\sim \omega+{\rm d} \omega\) 间的光子数:
\[ {\rm d}N_{\omega} = \frac{V}{\pi^{2}c^{3}} \frac{\omega^{2}{\rm d}\omega}{e^{\hbar \omega/T}-1} \tag{3}\]
相应的能量为式\((3)\)乘 \(\hbar \omega\):
\[ {\rm d}E_{\omega} = \frac{V\hbar}{\pi^{2}c^{3}}\frac{\omega^{3}{\rm d} \omega}{e^{\hbar \omega/T}-1} \]
Planck的推导
Planck的出发点是如下的假设: > 光子的能量一定为: > \[ \epsilon_{\omega} = n\hbar\omega,\quad n\in\mathbb{N} \]
由此, 体系的配分函数为:
\[ Z(\omega) = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-n \beta \hbar \omega} = \frac{1}{1-e^{-\beta \hbar \omega}} \tag{4}\]
相应的平均能量为:
\[ E_{\omega} = -\frac{{\rm d}}{{\rm d} \beta} \ln Z = \frac{\hbar \omega}{e^{\beta \hbar \omega}-1} \tag{5} \]
\(\omega\sim \omega+{\rm d} \omega\) 间的量子态数应当得到相同的结果, 将式\((2)\) 与式\((5)\) 相乘, 我们得到能量分布:
\[ {\rm d} E_{\omega} = \frac{V\hbar}{\pi^{2}c^{3}}\frac{\omega^{3}{\rm d} \omega}{e^{\hbar \omega/T} - 1}\]
关于两种推导的讨论
对于两者的推导, 频率区间内的量子态的数量是相同的, 不同之处在于, 对于Bose的推导, 我们是求得对于其中每个量子态的平均占有数, 再乘以单光子的能量\(\hbar \omega\), 而对于Planck的推导, 则是求得在这个态上的平均能量, 直接乘以态密度 那么为什么这两者能得出相同的结论呢?
我的理解是, Planck的假设实际上包含了Bose统计的假设. 光子的能量为\(n \hbar \omega\) 意味着什么? 我们都知道, 频率为\(\omega\) 的光子能量为\(\hbar \omega\), 因此这一假设实际上包含两重含义:
- 频率为\(\omega\) 的态上的光子数是任意(\(n\))的.
- 光子之间是不可分辨(否则不同的n会相应的有一个不同的组合系数).
所以Planck的做法(式\((4)\))实际上是在对光子数进行求和, 相应的, 得到的平均占有数应当为:
\[ \frac{E_{\omega}}{\hbar \omega} = \frac{1}{e^{\beta \hbar \omega}-1} \]
正与Bose统计导出的光子气平均占有数相同.