直积,直和与张量积

直积,直和与张量积

最近发现很多教材, 尤其是物理类的教材中对于直积, 直和与张量积的定义存在矛盾与含糊之处, 在此进行一些区分.

定义与来源

直积

直积(Direct Product)的定义与我们所熟知的笛卡尔积(Cartesian Product)相同, 用符号\(\times\)标记

\(X\)与\(Y\)为两个集合, 他们的直积\(X\times Y\)定义为一个集合, 其元素为X和\(Y\)中元素的有序对,即:

\(\forall x\in X, y\in Y, (x,y)\in X\times Y\)

可以看出直积有以下几个特点:

• 是对于集合定义的.
• 如果对于线性空间定义, 一个\(n\)维空间\(X\)和一个\(m\)维空间\(Y\), 其直积空间\(X\times Y\)的维数为\(n+m\).
• 实际上, 我们对于\(X\times Y\)上的运算和结构没做任何规定.但一般我们总是让\(x\)和\(y\)分别继承之前的运算和结构,就像我们在直和中做的那样.

直和

直和(Direct Sum)用符号\(\oplus\)标记, 定义为

\(V,W\)为两定义在域\(\mathbb{F}\)上的矢量空间, 他们的直和\(V\oplus W\)定义为一个矢量空间, 其中的元素为\(V\)和\(W\)中元素的有序对, 并带有如下线性结构 \[(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\] \[\alpha (x,y) = (\alpha x, \alpha y)\] 其中\(x,x_1,x_2 \in V\), \(y,y_1, y_2 \in W\), \(\alpha\in\mathbb{F}\).

可以看出直和有以下特点:

• 定义在矢量空间上的.
• \(n\)维矢量空间与\(m\)维矢量空间的直和空间维数为\(n+m\).
• 直和空间带有天然的带有运算和结构.

张量积

张量积(Tensor Product)的定义稍微显得复杂一点,同时注意, 我们使用\(\otimes\)符号来同时标记对空间和张量的张量积, 为了不引起歧义, \(A\otimes B\)这种大写字母指的是空间间的张量积, 而\(a\otimes b\)指的是张量间的张量积. 我们先定义张量间的张量积

对于两张量\(a^{\mu}{}_{\nu}, b^{\rho}{}_{\sigma}\), 其张量积定义为\((a\otimes b)^{\mu\rho}{}_{\nu\sigma}\). 写成矩阵形式: \[\begin{aligned} &a^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix}a^1{}_1& a^1{}_2\\ a^2{}_1& a^2{}_2\end{pmatrix}\\\\ &b^\rho{}_\sigma = \begin{pmatrix}b^1{}_1& b^1{}_2\\ b^2{}_1& b^2{}_2\end{pmatrix}\\\\ (a\otimes b)^{\mu\rho}{}_{\nu\sigma} &= \begin{pmatrix}a^1{}_1 b^\rho{}_\sigma& a^1{}_2b^\rho{}_\sigma\\ a^2{}_1b^\rho{}_\sigma& a^2{}_2b^\rho{}_\sigma\end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix}a^1{}_1 b^1{}_1 & a^1{}_1 b^1{}_2 & a^1{}_2 b^1{}_1& a^1{}_2 b^1{}_2\\ a^1{}_1b^2{}_1 & a^1{}_1b^2{}_2 & a^1{}_2 b^2{}_1 & a^1{}_2 b^2{}_2\\ a^2{}_1a^1{}_1 & a^2{}_1b^1{}_2 & a^2{}_2 b^1{}_1 & a^2{}_2 b^1{}_2\\ a^2{}_1a^2{}_1 & a^2{}_1b^2{}_2 & a^2{}_2 b^2{}_1 & a^2{}_2 b^2{}_2\\ \end{pmatrix} \end{aligned}\] \(V,W,U,X\)为定义在域\(\mathbb{F}\)上的矢量空间. \(p:V\times W\to X\) 为一个多线性映射, 则X为\(V\otimes W\), \(p\)为\(v\otimes w\),若对于任意多线性映射\(A:V\times W\to U\), 有且仅有一个线性映射\(A^\otimes :X\to U\), 使得\(A=A^\otimes \circ p\)

张量积的性质:

• 定义在矢量空间上,元素是张量(多线性映射).
• \(n\)维矢量空间与\(m\)维矢量空间的张量积空间维数为\(nm\).
• 张量积空间天然带有多线性结构.

区别

直和与直积

直和与直积几乎没有什么区别, 仅有的两个区别在于:

• 默认情况下, 直积可以对任何集合定义, 并且直积空间不附带任何结构. 但直和空间是对于两个矢量空间定义的, 自然带有线性结构.
• 对于无限维空间, 直和空间的元素只能有有限个非零分量, 而直积空间的元素可以有任意个非零分量, i.e. 直和空间是直积空间的真子空间. (这是是一个定义, 不用问为什么).

直和/直积与张量积

二者非常不一样, 主要来源于张量积空间保持了多线性结构. 举了例子来说明两者的区别. 考虑一个\(2\)维矢量空间\(A\)和一个\(1\)维矢量空间\(B\), 其基底分别为\(\{a_1,a_2\}\)和\(\{b_1\}\).其的直和空间\(A\oplus B\)中任意元素: \[ (a\cdot a_1,b\cdot a_2,c\cdot b_1) \] 总可以将其分解为: \[ a(a_1,0,0) + b(0,a_2,0) + c(0,0,b_1) \] 可见, 直和空间是三维的, 再考虑其张量积空间\(A\otimes B\)中的任意元素 \[ (a\cdot a_1, b\cdot a_2)\otimes(c\cdot b_1) \] 可以写成: \[ ac \cdot a_1\otimes b_1 + bc \cdot a_2\otimes b_1 \] 可以看出张量积空间是\(2\times 1 = 2\)维的.

其间的主要差异是由多线性结构引起的. 因为直和/直积空间只是将两个空间的元素按顺序放在一起,因此维数是两空间相加. 而张量积空间中, 由于多线性性, 我们有: \[ (a+b)\otimes (c+d) = a\otimes c + b\otimes c + a\otimes d + b\otimes d \] 因此维数是相乘.

总结

很多物理书中总喜欢将张量积和直积混淆, 我看到的最严重的就是喀兴林先生的《高等量子力学》一书, 甚至还在书中专门花了一节来讨论直和与直积空间的区别. 以后我要注意区分.