在我们开始谈论时间反演之前, 我们讨论更多关于量子力学对称性的问题.
我们首先回顾量子力学的基本原理, 我们认为, 任何量子态对应于Hilbert空间中的一个 矢量, 同时他们在乘以一个复系数的情况下仍代表相同的态, 即\(c \ket{a}\) 和 \(\ket{a}\) 是一个态, 这样, 一个态实际上对应于Hilbert空间中态矢量张成的一个一维 空间, 或者说一条射线. 这使得我们有动机引入等价关系:
\[\ket{s_1} \sim \ket{s_2} \Leftrightarrow \exists c \in \mathbb{C}, \ket{s_1} = c \ket{s_2}\]
进一步的, 我们可以得到商空间, 也就是射影空间\(\mathbb{P} \mathcal{H}\):
不难看出, 射影空间 \(\mathbb{P} \mathcal{H}\) 不是矢量空间, 而是因为 我们把 \(0\) 元素移出了.
\[\mathbb{P} \mathcal{H} = \mathcal{H} - \{0\} / \sim\]
我们将矢量 \(\ket{s}\) 属于的射线记作\(\ket{\overline{s}}\), 射线间的内积定义为 两射线内任意归一化矢量的内积.
那么我们首先定义对称变换为:
Definition 1 (对称变换) 给定Hilbert空间\(\mathcal{H}\) 及相应的射影空间\(\mathbb{P} \mathcal{H}\), 若有映射 \(f: \mathbb{P}\mathcal{H} \to \mathbb{P} \mathcal{H}\) 满足:
\[ |\braket{\overline{s_1}|\overline{s_2}}|^{2} = |\braket{f(\overline{s_1})|f(\overline{s_2})}|^{2},\quad \forall s_1,s_2\in \mathbb{P} \mathcal{H} \]
则称\(f\) 是一个对称变换
此处我们定义的对称变换是射影空间\(\mathbb{P} \mathcal{H}\) 上的映射, 我们希望能与 Hilbert空间上的映射建立联系, 由\(\mathcal{H}-\{0\}\) 到 \(\mathbb{P} \mathcal{H}\) 的自然同态, 我们不难定义:
Definition 2 (相容) 给定Hilbert空间\(\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_{2}\)与相应的射影空间 \(\mathbb{P} \mathcal{H}_{1}, \mathbb{P}\mathcal{H}_{2}\), 设分别有映射 \(G: \mathcal{H}_{1} \to \mathcal{H}_{2}\), \(f: \mathbb{P} \mathcal{H}_{1} \to \mathbb{P} \mathcal{H}_{2}\), 若满足:
\[ G(\ket{s}) \in f(\ket{\overline{s}}),\quad \forall \ket{s}\in \mathcal{H}_{1}\]
则称\(G\) 和\(f\) 是相容的.